19. Padėties lyginimas (kelioms imtims)

19.3.1 Eiga

Jei reikia atlikti ANOVA ar į ją panašią analizę, rekomenduojama tokia eiga:

1. Tiksliai apsibrėžiamas klausimas, suformuluojamos hipotezės;
2. Atliekama išsami duomenų suvestinė ir nubraižomas grafikas (pvz., pav. 19.3), galintis padėti atsakyti į iškeltą klausimą;
3. Patikrinamos analizės prielaidos ir reikalavimai, ar galima naudoti ANOVA:
   1. tiriamieji tarpusavyje turi būti nepriklausomi, kitaip šio skyriaus metodai bus netinkami. Reikės naudoti daugiapakopius (angl. multilevel) metodus.
   2. ar duomenų grupės nepriklausomos (ar matavimai nėra kartotiniai):
      • sprendžiame pagal tai, kaip buvo suplanuotas ir atliktas eksperimentas.
      • kitu atveju pasirenkami priklausomoms imtims tinkami metodai.
   3. ar duomenų pakankamai daug:
      • geriausia, kai kiekvienoje grupėje bent po 15, jei grupių daug – bent po 20 atvejų;
      • kitu atveju duomenys privalo skirstytis idealiai normaliai, grupių dispersijos tik nežymiai skirtis;
      • jei duomenų per mažai, negalime patikimai patikrinti parametriniams kriterijams keliamų (normalumo ir lygių dispersijų) prielaidų,
      • būdas „apeiti“ mažų imties dydžių problemą – prielaidas tikrinti pagal liekamąsias paklaidas.
   4. normalumo prielaida:
      • Galima tikrinti pagal liekamąsias paklaidas (tiesinio modelio diagnostikos grafikai, Shapiro-Wilk kriterijus likučiams). Jei nesimato nukrypimų nuo normaliojo pasiskirstymo, teigiame, kad prielaida tenkinama. Kitu atveju galime tikrinti taip, kaip aprašyta kitame punkte;
      • Tikrinant pagal pradinius (analizei parengtus) duomenis, normalumas turi būti tenkinamas kiekvienai grupei atskirai. Svarbu, kad grupių dydžiai būtų pakankamai dideli.
      • Jei prielaida netenkinama, taikomi neparametriniai metodai.
   5. lygių dispersijų prielaida:
      • Galima tikrinti pagal liekamąsias paklaidas (tiesinio modelio diagnostikos grafikai, Breush-Pagan kriterijus);
      • Galima tikrinti pagal pradinius (analizei parengtus) duomenis (Levene/Brown-Forsythe kriterijai);
      • Jei pažeista lygių dispersijų, bet tenkinama normalumo sąlyga, naudojamas Welch \(F\) kriterijus.
4. Teisingai pasirenkama ir atliekama pagrindinė analizė.
   • Tikrinamas statistinis reikšmingumas;
   • Skaičiuojamas bendrasis efekto dydis (pvz., \(\omega^2\) ar pan.).
5. Jei pagrindinės analizės rezultatas statistiškai reikšmingas (rodo, kad bent viena grupė nuo kitų skiriasi statistiškai reikšmingai, bet nepasako kuri), atliekama papildoma post-hoc analizė (poriniai palyginimai norint išsiaiškinti, kurios konkrečiai grupės skiriasi).
   • Galima atlikti lyginimus „kiekvienas su kiekvienu“ (daugiau lyginimų, bet mažesnė galia) arba „kiekvienas su kontrole“ (mažiau lyginimų, bet kartais to užtenka, nes atliekama tik dalis galimų lyginimų). Apie tai, kurį variantą pasirinkti, sprendžiame tyrimo planavimo etape, o ne tada, kai įsikeliame duomenis į kompiuterį ir pamatome grafiką.
   • Tiriamas statistinis reikšmingumas, vengiant pernelyg padidėjusios I rūšies klaidos tikimybės, taikoma \(p\) reikšmių korekcija.
   • Kiekvienai porai skaičiuojamas efekto dydis.
6. Rezultatai aprašomi.

Pav. 19.3: Dispersinei analizei tinkamų duomenų pavyzdys. Grupės išdėliotos mažėjimo tvarka pagal grupės medianą.

Apie grafikų interpretaciją rašoma skyriuje „5.3.3 Grafinis grupių palyginimas.“

19.3.2 Prielaidų tikrinimas: normalumas ir dispersijų homogeniškumas

Dispersinės analizės normalumo ir homoskedastiškumo (lygių dispersijų) prielaidas galima tikrinti dviem būdais (matyt, geriausia abu ir naudoti):

1. Tikrinimas pagal pradinius duomenis, kaip tai įprastai atliekama statistiniams kriterijams (skaitykite skyriuje „16 Normalumo tikrinimas“ bei „17 Sklaidos lyginimas“):
   • normaliojo pasiskirstymo prielaidą turėtų tenkinti kiekviena grupė atskirai.
2. ANOVA ir regresinė analizė yra tiesinių modelių (angl. linear models) rūšys. Todėl ANOVA normalumo prielaidą galima tikrinti ir pagal liekamąsias paklaidas (apie šį būdą taip pat bus rašoma skyriuje „21 Tiesinė regresija“. Liekamosios paklaidos (angl. errors) dar vadinamos likučiais (angl. residuals). ANOVA (arba t kriterijaus) atveju jos apskaičiuojamos iš taško vertės atimant grupės, kuriai tas taškas priklauso, vidurkį (t.y, skaičiuojamos kiekvienam taškui atskirai: kiek yra duomenų taškų, tiek yra ir likučių). Likučių išsidėstymas turi būti normalusis ir homoskedastiškas (t.y., būti tenkinama lygių dispersijų prielaida). Prielaidų tikrinimas atliekamas pagal tiesinio modelio diagnostikos (prielaidų tikrinimo) grafikus (pav. 19.4, 19.5) bei naudojant likučių analizei skirtus statistinius kriterijus:
   • normalumui – Shapiro-Wilk kriterijus (tik bus viena p reikšmė, nes visi likučiai analizuojami kartu).
   • lygių dispersijų (homoskedastiškumo) prielaidai – Breush-Pagan kriterijus (o ne Levene/Brown-Forsythe)

Pav. 19.4: ANOVA diagnostikos grafikai: prielaidos tenkinamos. Simuliuoti duomenys, paimti iš visiškai normaliai pasiskirsčiusių generalinių aibių, kurių dispersijos yra lygios. Kiekvienos grupės dydis \(n_i\) = 20. Grafikų paaiškinimai žemiau.

Pav. 19.5: ANOVA diagnostikos grafikai: pažeista lygių dispersijų prielaida, likučių pasiskirstymas nėra normalusis. Simuliuoti duomenys, paimti iš visiškai normaliai pasiskirsčiusių generalinių aibių, kurių dispersijos smarkiai skiriasi. Grupių dydžiai \(n_i\) = 50. Besiskiriančias dispersijas vaizduoja „Residuals vs Fitted“ (skiriasi taškų išsibarstymo aukštis) ir Scale-Location (per grupių centrus einanti linija nėra lygiagreti x ašiai) grafikai. Taip pat matome, kad dėl skirtingo dydžio dispersijų QQ grafike likučių pasiskirstymas tampa nebe normalusis. Tad pravartu normalumo prielaidą patikrinti kiekvienai grupei atskirai nubraižant QQ diagramą.

Lygių dispersijų prielaidos tikrinimas pagal tiesinio modelio diagnostikos grafikus:

• „Residuals vs. Fitted“ („paklaidos pagal prognozuojamas reikšmes“) grafikas. Jei prielaida tenkinama, visos taškų grupės pasižymi daugmaž vienoda sklaida, t.y., taškų išsibarstymo aukštis kiekvienoje taškų grupėje yra panašus (ar skiriasi mažiau nei 2-3 kartus).
• „Scale-Location“ (sklaidos-padėties) grafikas. Jei prielaida tenkinama, visų taškų grupių sklaida yra panašaus dydžio, o tendencijos linija – daugmaž lygiagreti x ašiai. Jei matomas aiškus tendencijos linijos nukrypimas nuo lygiagretumo (aiškus kitimas, leidimasis ar kitoks „raitymasis“), tada prielaida pažeista.

Normalumo tikrinimas:

• „Normal Q-Q“ grafikas. Jei prielaida tenkinama, visi taškai turi būti išsidėstę į maždaug vieną liniją ties įstrižaine.
  • Jei dispersijos skiriasi smarkiai, tai paklaidos taip pat gali būti pasiskirsčiusios ne normaliai. Tokiu atveju pravartu normalumo prielaidą patikrinti kiekvienai grupei atskirai nubraižant QQ diagramą ir pasirinkti tinkamą ANOVA analogą.

Apie diagnostikos grafikus taip pat rašoma šiuose šaltiniuose:

• „2.3 - ANOVA model diagnostics including QQ-plots“ ;
• „2.4 - Guinea pig tooth growth One-Way ANOVA example“ .

19.3.3 Kelių grupių lyginimas: rezultatų pateikimas

Atlikdami post-hoc analizę, kelias grupes lyginame poromis. Lyginant kelias grupes, rezultatai gali būti pateikti kiekvienai lyginamai grupių porai atskiroje eilutėje. Tai patogu tik tada, kai grupių nedaug, nes lyginimų poromis (kiekvienas su kiekvienu) skaičius yra \(k(k-1)/2\) (\(k\) – grupių skaičius).

Žemiau esančiame pavyzdyje pateiktas trijų grupių palyginimas. Jame \(p\) reikšmė žymima Pr(>|t|), \(t\) statistika t value, o Terpė_I - Kontrolė == 0 rodo, kad lygintos grupės yra Terpė_I ir Kontrolė. Statistinis reikšmingumas žymimas žvaigždutėmis:

Pairwise comparisons using Conover's all-pairs test

data: y by group
P value adjustment method: holm
H0
                         t value Pr(>|t|)  
Terpė_I - Kontrolė == 0   -1.267 0.215966  
Terpė_II - Kontrolė == 0   1.915 0.132301  
Terpė_II - Terpė_I == 0    3.182 0.010983 *
---
Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1

Kai grupių daug, rezultatus patogiau pateikti kaip \(p\) reikšmių matricą:

Pairwise comparisons using Conover's all-pairs test

data: y by group

         Kontrolė Terpė_I
Terpė_I  0.216    -      
Terpė_II 0.132    0.011  

P value adjustment method: holm

Čia matome, kad \(p\) reikšmė tarp Terpė_I ir Terpė_II lygi 0,011.

Visgi, jei grupių tikrai labai daug (sakykime – 8), net ir turint tokią matricą, sunku greitai ir efektyviai apibendrinti visus rezultatus: kurios grupės tarpusavyje skiriasi, o kurios ne?

  A       B       C       D       E       F       G      
B 1.00000 -       -       -       -       -       -      
C 0.00329 0.05921 -       -       -       -       -      
D 7.7e-05 0.00248 1.00000 -       -       -       -      
E 6.1e-09 3.1e-07 0.00535 0.11261 -       -       -      
F 5.0e-10 2.6e-08 0.00072 0.02156 1.00000 -       -      
G 2.3e-10 1.2e-08 0.00036 0.01237 1.00000 1.00000 -      
H 6.2e-13 3.0e-11 1.1e-06 7.7e-05 0.11880 0.49213 0.65072

Todėl yra efektyvesnis būdas parodyti skirtumus – cld. Jis aptariamas kitame poskyryje.

19.3.4 Kompaktiškas raidinis žymėjimas (cld)

Sakykime, kelias grupes lyginame poromis. Statistiškai reikšmingus rezultatus tarp grupių, kai lyginimų daug, galime pažymėti taip vadinamu kompaktišku raidiniu žymėjimu (angl., compact letter display, cld). Šio žymėjimo esmė: kiekvienai grupei suteikiama viena ar keletas raidžių. Interpretacija: tarp grupių, kurios neturi bendros raidės, skirtumai yra statistiškai reikšmingi. Jei grupės turi bent vieną bendrą cld raidę – skirtumai statistiškai nereikšmingi. Raidinis žymėjimas labai patogus, kai vienu metu poromis lyginame daug grupių.

Lentelėje 19.2 rodoma, kad (su reikšmingumo lygmeniu \(\alpha = 0{,}05\)) statistiškai reikšmingi skirtumai yra tik tarp grupių „Terpė_I“ ir „Terpė_II“, nes jos neturi bendros raidės. Tuo tarpu reikšmingų skirtumų tarp kontrolės ir kitų grupių nėra, nes jos turi po vieną bendrą cld raidę.

Pav. 19.6: Kompaktiškas raidinis žymėjimas grafike.

Palyginkite praeitame skyrelyje pateiktą 8 lyginamų grupių (A-H) matricą su šia cld reikšmių lentele:

  group cld spaced_cld
1     A   a      a____
2     B  ab      ab___
3     C  bc      _bc__
4     D  cd      __cd_
5     E  de      ___de
6     F   e      ____e
7     G   e      ____e
8     H   e      ____e

Kurios iš šių grupių statistiškai reikšmingai skiriasi, o kurios ne?

19.4.1 Nestandartizuotieji efekto dydžiai

Bendrasis (visoms grupėms iš karto) efekto dydis kintamojo matavimo vienetais nėra skaičiuojamas. Tačiau parametriniams metodams gali būti apskaičiuotas skirtumas tarp dviejų grupių vidurkių bei skirtumo pasikliautinasis intervalas. Taip pat kartais skaičiuojamas skirtumas tarp grupės vidurkio ir bendro visos duomenų imties vidurkio. Bet šiuo atveju, jei imties dydžiai nesubalansuoti, rezultatai gali būti iškreipti (kuo grupė santykinai didesnė už kitas, tuo jos vidurkis bus panašesnis į bendrą visų grupių vidurkį).

Taip pat galima išvardinti visų grupių vidurkius (parametriniu atveju) arba medianas (neparametriniu atveju) ir skirtumus leisti apsiskaičiuoti pačiam skaitytojui.

19.4.2 Standartizuotieji efekto dydžiai

Įprastai vienfaktorėje ANOVA analizėje bendras efekto dydis matuojamas kaip \(\eta^2\) (eta kvadratu) ir \(\omega^2\) (omega kvadratu) koeficientai: \(\eta^2\) laikomas paslinktuoju, o \(\omega^2\) – nepaslinktuoju (ar bent jau mažiau paslinktuoju) įverčiu, todėl \(\omega^2\) yra tikslesnis (Čekanavičius ir Murauskas 2004, p.74). Kai kategorinio kintamojo reikšmės yra manipuliuotos (t.y., eksperimentiniams tyrimams), o ne išmatuotos, koeficientas \(\omega^2\) gali būti apskaičiuotas pagal (19.1) lygtį (Albers ir Lakens 2018). Apie kitų koeficientų skaičiavimą informacijos galite rasti minėtame straipsnyje arba šioje svetainėje .

\[\begin{equation} \omega^2 = \frac{(F-1)\cdot\nu_{skaitiklio}}{F \cdot \nu_{skaitiklio}+\nu_{vardiklio}+1} \tag{19.1} \end{equation}\]Čia \(F\) – kriterijaus statistika, \(\nu\) laisvės laipsniai.

Koeficientai \(\omega^2\) ir \(\eta^2\) interpretuojami taip: kurią dalį duomenų sklaidos lemia grupių skirtumai (Čekanavičius ir Murauskas 2004, p.71), t.y., kuri priklausomo kintamojo dispersijos (sklaidos) dalis paaiškinama nepriklausomų kintamųjų reikšmėmis (0 – paaiškinta 0%, 1 – paaiškinta 100%). Preliminariai kalbant, efektą vertinti galima taip: 0,01 mažas, 0,06 – vidutinis, 0,14 – didelis (Field ir kt. 2012, p.455) ar \(\omega^2\) > 0,15 – pakankamai didelis (Čekanavičius ir Murauskas 2004, p.74). Tikslesnė interpretacija priklauso nuo mokslo šakos ir tyrimo pobūdžio. Tad geriausia šiuos dydžius lyginti su savo srities tyrėjų darbais.

Kruskalo-Voliso analizei gali būti skaičiuojamas koeficientas \(\eta_H^2\), kuris taip pat traktuojamas kaip nepriklausomu kintamuoju paaiškinta sklaidos dalis. Arba koeficientas \(E^2_H\) (epsilon kvadratu), kuris interpretuojamas kaip koreliacijos koeficientas (0 – ryšio nėra, 1 – idealus ryšys). Daugiau matematinių detalių straipsnyje (Tomczak ir Tomczak 2014).

Post-hoc analizei efekto dydžiai gali būti skaičiuojami 18.3 skyriuje nagrinėjamais metodais.

19.5.1 ANOVA rezultatai

Aprašyme pateikiamas tikslus taikytos analizės pavadinimas, kriterijaus statistika \(F\) įprastai 2 skaitmenų po kablelio tikslumu, abu jos laisvės laipsniai (tiek skaitiklio, angl. numerator, tiek vardiklio, angl. denominator) ir \(p\) reikšmė 3-4 skaitmenų po kablelio tikslumu.

Pvz.:

            Df  Sum Sq  Mean Sq  F value  Pr(>F)  
group        2   3.766  1.8832   4.846    0.0159 *
Residuals   27  10.492  0.3886                 
---
Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1

• \(F\) statistika (F value = 4.846)
• \(F\) skirstinio parametrai (Df, 2, 27)
• \(P\) reikšmė (Pr(>F) = 0.0159).

Stulpelyje Df pateikti laisvės laipsniai, F value – \(F\) statistika, Pr(>F) – \(p\) reikšmė. Šių rezultatų aprašymo pavyzdys:
„Skirtumai tarp grupių vidurkių buvo statistiškai reikšmingi (ANOVA, \(F(2; 27) = 4{,}85\), \(p = 0{,}016)\). Grupių vidurkiai pateikti lentelėje (nurodome lentelės numerį)“.
Papildomai reiktų nurodyti grupių vidurkius ir, geriausia, pateikti grafiką su grupių palyginimu.

19.5.2 Welch ANOVA rezultatai

Welch ANOVA rezultatų pavyzdys:

One-way analysis of means (not assuming equal variances)

data:  y and group
F = 5.181, num df = 2.000, denom df = 17.128, p-value = 0.01739

One-way analysis of means (not assuming equal variances)

data:  fscore and fcategory
F = 90.59, num df = 2.000, denom df = 25.563, p-value = 0.000000000002494

Čia F – \(F\) statistika, \(F\) skirstinio parametrai num df – skaitiklio laisvės laipsniai, denom df – vardiklio laisvės laipsniai (įprastai 2 skaitmenų po kablelio tikslumu), p-value – \(p\) reikšmė (3, kartais 4 skaitmenų po kablelio tikslumu). Tad analizės rezultatai turėtų būti apibūdinti taip:
„(Welch \(F\) kriterijus, \(F(2; ~25{,}56) = 90{,}59\), \(p < 0{,}001\))“.

Aprašydami rezultatus:

• Įprastai \(p\) reikšmę užrašome 3 skaitmenų po kablelio tikslumu.
• Visus kitus apvalintinus skaičius – 2 skaitmenų po kablelio tikslumu.

19.5.3 Kruskal-Wallis analizės rezultatai

Aprašant neparametrinio Kruskal-Wallis kriterijaus rezultatus pateikiamas kriterijaus pavadinimas, kriterijaus statistika \(\chi^2\), naudotino \(\chi^2\) skirstinio laisvės laipsniai, imties dydis \(n\) bei \(p\) reikšmė 3-4 skaitmenų po kablelio tikslumu. Jei \(p\) reikšmė labai maža, tai ją rašome maždaug taip \(p < 0{,}001\) ar \(p < 0{,}0001\). Pvz.:

Kruskal-Wallis rank sum test

data:  y by group
Kruskal-Wallis chi-squared = 7.9882, df = 2, p-value = 0.01842

Kruskal-Wallis rank sum test

data:  Ozone by Month
Kruskal-Wallis chi-squared = 29.267, df = 4, p-value = 0.000006901

Aprašymas turėtų atrodyti maždaug taip:
„Skirtumai tarp grupių buvo statistiškai reikšmingi (Kruskal-Wallis kriterijus, \(\chi^2(4; n = 153) = 29{,}27\), \(p < 0{,}001\)). Grupių pasiskirstymas vaizduojamas grafike (nurodome grafiko numerį), skaitinės suvestinės pateiktos lentelėje (nurodome lentelės numerį)“.
Reikšmė chi-squared nurodo \(\chi^2\) statistiką, df – \(\chi^2\) skirstinio parametrą pavadinimu „laisvės laipsniai“, n = 153 – imties dydį, p-value – \(p\) reikšmę. Papildomai turėtų būti pateiktos visų grupių medianos ir, geriausia, grafikai.

19.5.4 Post-hoc analizės rezultatai

Jei atlikta post-hoc analizė, jos rezultatai taip pat aprašomi, ir tai daroma panašiai kaip ir \(t\) ar Wilcoxon kriterijų aprašymo atvejais. Tiksliai apibūdinamas ir analizės metodas, ir \(p\) reikšmių korekcijos metodas (jei jis taikytas). Nurodoma, kurių būtent porų lyginimo rezultatas pateikiamas (visų tarpusavyje, visų su kontrole ar pan.). Jei rezultatų daug – jie gali būti pateikiami lentele. Rekomenduoju naudoti cld žymėjimus (skyrelis 19.3.4) ir paaiškinti, ką tie žymėjimai reiškia. Taip pat galima nurodyti standartizuotuosius efekto dydžius.

                    diff  ci.lo ci.hi    t df    p
Terpė_I-Kontrolė  -0.371 -1.062  0.32 1.33 27 .391
Terpė_II-Kontrolė  0.494 -0.197  1.19 1.77 27 .198
Terpė_II-Terpė_I   0.865  0.174  1.56 3.10 27 .012

                    diff  ci.lo  ci.hi    t   df    p
Terpė_I-Kontrolė  -0.371 -1.172  0.43  1.19 16.5 .475
Terpė_II-Kontrolė  0.494 -0.101  1.09  2.13 16.8 .113
Terpė_II-Terpė_I   0.865  0.114  1.62  3.01 14.1 .024