4. Skaitinės suvestinės

4.5.1 Duomenų centro charakteristikos

Duomenų centro (angl. central tendency) charakteristikos apibūdina, kur kintamojo matavimo skalėje (pvz., „ant liniuotės“) reiktų tikėtis rasti „centrinę“ ar „tipinę“ tiriamo kintamojo reikšmę. Priklausomai nuo duomenų savybių, vienose situacijose „tikrąjį“ centrą tiksliau apibūdina vienos charakteristikos, kitose – kitos.

1. Aritmetinis vidurkis (\(\overline{x}\), M) – tai tarsi visų reikšmių „svorio“ centras, ties kuriuo išlaikomas balansas tarp mažų ir didelių reikšmių.
   

   Pav. 4.3: Vidurkis tarsi svorio (balanso) centras (šaltinis).

   Tinka, kai duomenys pasiskirstę simetriškai (pvz., pagal normalųjį skirstinį), be (asimetriškų) išskirčių. Kai imtis maža, net viena smarkiai nuo centro nutolusi reikšmė gali ženkliai paslinkti „svorio centro“ (vidurkio) padėtį.

\[\begin{equation} \overline{x} = \frac{1}{n} \sum^n_{i=1}x_i \tag{4.1} \end{equation}\]

Žymėjimai: \(n\) – imties dydis, \(x\) – duomenų seka, \(x_i\) – \(i\)-toji sekos reikšmė.

2. Nupjautasis vidurkis (angl. trimmed mean) – tai vidurkis, apskaičiuotas pašalinus tam tikrą dalį didžiausių ir mažiausių reikšmių: vienodas kiekis reikšmių pašalinamas iš kiekvienos skirstinio pusės.
3. Mediana (žymėsime Md arba \(\tilde{x}\)) – tai reikšmė, duomenų eilutę dalinanti į dvi pagal narių skaičių lygias dalis. Įprastai tai vidurinė duomenų eilutės reikšmė arba dviejų vidurinių reikšmių vidurkis.
4. Moda (žymėsime Mo) – dažniausiai pasitaikanti duomenų eilutės reikšmė.
5. Geometrinis vidurkis \((x_G)\):

\[\begin{equation} x_G = \left({\prod^n_{i=1}x_i}\right)^\frac{1}{n} = \sqrt[{n}]{x_1 x_2 \cdots x_n} \tag{4.2} \end{equation}\]

6. Harmoninis vidurkis \((x_H)\):

\[\begin{equation} x_H = \frac{n}{\sum^n_{i=1}\frac{1}{x_i}}=\frac{n}{\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\cdots+\frac{1}{x_n}} \tag{4.3} \end{equation}\]

4.5.2 Kvantiliai ir kvartiliai

Kvantiliai – tai duomenų padėtį apibūdinančios charakteristikos.

Imties \(\beta\)-tosios eilės kvantilis (pažymėkime raide \(q\), o \(\beta \in [0; 1]\)) – yra konkreti duomenų eilutės reikšmė (arba dviejų reikšmių funkcija), kuri pagal imties dydį variacinę eilutę dalina į dvi dalis: vienoje yra daugmaž \(\beta\), kitoje – \((1-\beta)\) narių. Čia \(\beta\) yra dalis – skaičius tarp 0 ir 1 \((0 < \beta < 1)\). Atkreipkite dėmesį, kad kvantilis matuojamas tais pačiais matavimo vienetais, kaip ir tiriamieji duomenys: jei matuojame ilgį centimetrais, tai kvantilis yra tam tikras ilgis centimetrais, jei masę kilogramais, tai ir kvantilis bus tam tikra masė kilogramais. Pvz., jei kvantilis \(q_{\beta=0{,}2} = 35 \mu m\) (įprastai bus žymimas tiesiog \(q_{0{,}2} = 35 \mu m\)), tai reiškia, kad 20% mūsų imtyje esančių tiriamųjų yra mažesni už \(35 \mu m\) ir 80% didesni už šį kvantilį. Tai pat pastebėkite, jog skaičius \(\beta\) šalia kvantilio nurodo, kuri imties narių dalis yra mažesnė už kvantilio reikšmę.

Kvantilis \(q_{0.5}\) yra plačiausiai naudojamas ir turi specialų pavadinimą – mediana \((Md)\). Tai skaičius, variacinę eilutę dalinantis į dvi lygias dalis santykiu 50%:50%.

Kvartiliai – tai kvantiliai, dalijantys variacinę duomenų eilutę į 4 lygias dalis. Įprastai žymimi \(Q_1\), \(Md\), \(Q_3\).

4.5.3 Duomenų sklaidos charakteristikos

Duomenų sklaidos matai parodo, ar duomenų vertės nuo centro (ar viena nuo kitos) nutolusios daug, ar mažai. Duomenų sklaidos matą reikia derinti su pasirinkta duomenų centro charakteristika: juk nelabai logiška pateikti medianą ir vidutinį nuokrypį nuo vidurkio, kuris suvestinėje nepateiktas. Bus apžvelgtos imties (o ne generalinės aibės) charakteristikos.

1. Imties dispersija (\(s^2_x\)). Matuojama kvadratu pakeltais kintamojo matavimo vienetais. \[\begin{equation} s^2_x = \frac{1}{n-1} \sum^n_{i=1}(x_i-\overline{x})^2 \tag{4.4} \end{equation}\]Dispersija – tai reikšmių ir vidurkio skirtumai \(x_i-\overline{x}\) pakelti kvadratu \((...)^2\) (skirtumai pakelti kvadratu statistikoje vadinami tiesiog kvadratais). Tada iš šių kvadratų apskaičiuotas aritmetinis vidurkis, tik dalinta ne iš imties dydžio \(n\), o iš laisvės laipsnių skaičiaus \(n - 1\) (vienas laisvės laipsnis „sunaudojamas“ nes naudojamas vidurkis). Tai vadinama Besselio pataisa (anlg. Bessel’s correction), dėl kurios mažoms imtims dispersija apskaičiuojama tiksliau. Labai didelėms imtims nebūtų žymaus skirtumo ar naudotumėte \(n\), ar \(n - 1\), nes kai imtis didėja, santykis tarp šių dviejų dydžių artėja į 1: \[\begin{equation} \ \lim_{n \to \infty}\frac{n}{n-1}=1 \tag{4.5} \end{equation}\]

2. Imties standartinis nuokrypis (\(s_x\), SD). Matuojamas kintamojo matavimo vienetais. Preliminari rodiklio interpretacija: vidutinis duomenų taškų atstumas iki vidurkio.

\[\begin{equation} s_x = \sqrt{\frac{1}{n-1} \sum^n_{i=1}(x_i-\overline{x})^2} \tag{4.6} \end{equation}\]

3. Variacijos koeficientas (CV). Bedimensis dydis, todėl tinka lyginti ir skirtingais matavimo vienetais išreikštus kintamuosius. Parodo standartinių nuokrypių skaičių, išreikštą vidurkių skaičiumi (t.y., kiek vidurkių telpa į standartinį nuokrypį).

\[\begin{equation} CV = \frac{s_x}{\overline{x}} \tag{4.7} \end{equation}\]

4. MAD – absoliučiųjų nuokrypių nuo medianos mediana (angl. median absolute deviation). Tai išskirtims atsparus SD analogas. Paprasčiausiu atveju: \[\begin{equation} MAD ^* = mediana(|x - mediana(x)|) \tag{4.8} \end{equation}\]Dažniau naudojamas daugiklis \(k\), priklausantis nuo skirstinio tipo. Paprastai sakant, jis reikalingas tam, kad MAD reikšmė būtų panašesnė į SD (plačiau apie tai skaityti galite čia). Griežčiau kalbant, kad MAD taptų generalinės aibės standartinio nuokrypio \((\sigma)\) įverčiu (įverčiai žymimi „stogeliu“): \[\begin{equation} \hat{\sigma} = k \cdot MAD ^* \tag{4.9} \end{equation}\]Kai skirstinys normalusis (pvz., taip skaičiuoja programa „R“): \[\begin{equation} MAD = 1{,}4826 \cdot mediana(|x - mediana(x)|) \tag{4.10} \end{equation}\]

5. IQR – tai kvartilių skirtumas (tarpkvartilinis plotis, tarpkvartilinis ilgis, angl. interquartile range). \[\begin{equation} IQR = Q_3 - Q_1 \tag{4.11} \end{equation}\]

6. Imties plotis (angl. range) – tai skirtumas tarp mažiausios ir didžiausios reikšmių. \[\begin{equation} \mathrm{imties~plotis} = x_{max} - x_{min} \tag{4.12} \end{equation}\]

4.5.4 Duomenų formos charakteristikos

Yra dvi pagrindinės duomenų formą aprašančios statistikos:

1. Asimetrijos koeficientas, \(g_1\) (angl. skewness, trumpinama skew) – vertina skirstinio simetriškumą. Koeficiento ženklas nurodo asimetrijos kryptį:
   • \(g_1 = 0\) – ideali simetrija;
   • \(g_1 < 0\) – neigiama (kairioji) asimetrija;
   • \(g_1 > 0\) – teigiama (dešinioji) asimetrija. Pastarąją galima bandyti koreguoti logaritmuojant.
   Absoliutusis koeficiento dydis nurodo asimetrijos stiprumą. Viena iš galimų klasifikacijų :
   • \(g_1 = 0\) – ideali simetrija;
   • \(|g_1| < 0{,}5\) – maža asimetrija, beveik simetriška;
   • \(0{,}5 < |g_1| < 1\) – vidutinio stiprumo asimetrija;
   • \(1 < |g_1|\) – stipri asimetrija.
2. Eksceso koeficientas (nedetalizuosime).

4.5.5 Statistinis dažnis ir dažnių lentelės

Kintamojo reikšmės dažnis \(f_i\) – tai skaičius, nurodantis, kiek kartų reikšmė \(x_i\) pasikartojo duomenų eilutėje. Kinta intervale nuo 0 iki \(+\infty\).

Kintamojo reikšmės santykinis dažnis \(\frac {f_i}{n}\) – tai skaičius, nurodantis, kurią duomenų eilutės dalį sudaro reikšmė \(x_i\). Įprastai tai skaičius tarp 0 ir 1 \(\left(0 \le \frac{f_i}{n} \le 1 \right)\). Gali būti išreikštas ir procentais. Čia \(n\) – visų elementų skaičius (imties dydis).

Kintamojo reikšmių dažnių lentelėse nurodoma, kiek kartų kiekviena diskrečiojo ar kategorinio kintamojo reikšmė pasikartojo.

* – Lentelėje pateikti absoliutieji ir santykiniai dažniai.

4.5.6 Kaip statistiškai aprašyti vieno kintamojo reikšmes?

Prieš atliekant vieno kintamojo suvestines, reikia nustatyti kintamojo duomenų tipą. Panagrinėkime du kraštutinumus – nominaliuosius ir tolydžiuosius duomenis. Šiais atvejais – įprasti tokie pasirinkimai:

• Kategoriniams nominaliesiems duomenims pateikiama:
  • imties dydis;
  • dažnių lentelė.
• Tolydiesiems duomenims:
  • imties dydis;
  • duomenų centras (įprastai vidurkis arba mediana);
  • duomenų sklaida (įprastai SD, kvartiliai Q1, Q3, IQR arba MAD).

Jei duomenys ranginiai arba skaitiniai diskretieji, jiems gali tikti ir tolydžiųjų, ir diskrečiųjų duomenų aprašymo metodai. Įvertinus, į ką – tolydžiuosius (t.y., kiekybinius) ar diskrečiuosius (t.y., nominaliuosius) duomenis – konkretus kintamasis panašesnis, parenkamas aprašomosios statistikos metodas. Įprasti pasirinkimai:

• Ranginiams duomenims:
  • imties dydis*;
  • dažnių lentelė*;
  • mediana;
  • kiti centrą (pvz., vidurkis) ir sklaidą (pvz., SD) aprašantys dydžiai naudojami tik tada, jei jie turi prasmę.
• Diskretiesiems skaitiniams duomenims:
  • imties dydis;
  • duomenų centras;
  • duomenų sklaida;
  • dažnių lentelė (įprasta tik tada, kai skirtingų reikšmių yra mažai).

* – privaloma.

4.5.7 Kaip pasirinkti kiekybiniams duomenims tinkamas suvestines?

Kai jau nustatėme, kad duomenys yra kiekybiniai (pvz., tolydieji), toliau žiūrime į duomenų pasiskirstymo formą ir įvertiname, ar yra išskirčių. Tokiu būdu nustatome, kokios statistikos geriausiai apibūdina duomenų centrą ir sklaidą (išsidėstymą apie tą centrą):

• Jei duomenys simetriški ir be ryškių išskirčių, įprastai centrui apibūdinti naudojamas aritmetinis vidurkis ir sklaidai – standartinis nuokrypis (SD).
• Jei duomenys smarkiai asimetriški arba turi ryškių išskirčių, labiau tinka išskirtims ir nukrypimams atsparios (robastiškos) statistikos: centrui – mediana, sklaidai – kvartiliai, MAD (medianinis absoliutusis nuokrypis nuo medianos), IQR (tarpkvartilinis plotis).

Galutinėje ataskaitoje tyrėjo nuožiūra pasirenkamas vienas labiausiai tinkantis centro padėties ir vienas sklaidos aprašymo būdas. Taip pat nurodomas ir imties dydis.

4.5.8 Z reikšmės

Z reikšmė gaunama iš pradinės duomenų reikšmės atėmus vidurkį ir padalinus iš standartinio nuokrypio. Tai z transformacija, dar vadinama standartizavimu:

\[\begin{equation} z_i = \frac{x_i - \overline{x}}{s_x} \tag{4.13} \end{equation}\]

Z reikšmė parodo, kiek standartinių nuokrypių reikšmė yra nutolusi nuo vidurkio. Gali būti tiek teigiamas (jei nuokrypis į didesnių), tiek neigiamas dydis (jei nuokrypis į mažesnių reikšmių pusę).

4.6.1 Du kiekybiniai kintamieji

Kovariacijos koeficientas tarp 2 kintamųjų, arba tiesiog kovariacija \((cov)\), tai dydis, parodantis, kaip kintant vieno kintamojo reikšmėms kinta kito kintamojo reikšmės. Imties duomenims apibrėžiama taip (žymėjimas \(_{xy}\) rodo, kad kovariaciją skaičiuojame tarp kintamųjų \(x\) ir \(y\)):

\[\begin{equation} cov_{xy} = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n {(x-\overline{x})(y-\overline{y})} \tag{4.14} \end{equation}\]

Trūkumas – kovariacijos matavimo vienetai priklauso nuo duomenų matavimo vienetų, todėl skirtingais vienetais matuojamiems dydžiams kovariacijos koeficiento verčių korektiškai palyginti neįmanoma. Kovariaciją standartizavę pagal kintamųjų standartinius nuokrypius gauname bedimensį dydį. Tai Pearson (Pirsono) tiesinės koreliacijos koeficientas \((r)\):

\[\begin{equation} r_{xy} = \frac{ cov_{xy} }{ s_x ~ s_y } \tag{4.15} \end{equation}\]

Arba:

\[\begin{equation} r_{xy} = \frac{\sum{(x-\overline{x})(y-\overline{y})}} {\sqrt{\sum{(x-\overline{x})^2}} \sqrt{\sum{(y-\overline{y})^2}}} \tag{4.16} \end{equation}\]

Koeficientą galima apibrėžti ir kaip sandaugą tarp z reikšmių sumų: \[\begin{equation} \begin{aligned} r_{xy} = \\ & = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n \left( \frac{x_i - \overline{x}}{s_x} \right) \sum_{i=1}^n \left( \frac{y_i - \overline{y}}{s_y} \right) \\ & = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n z_{xi} \sum_{i=1}^n z_{yi} \end{aligned} \tag{4.17} \end{equation}\]

Koreliacijos koeficientas kinta nuo -1 iki 1:

• \(0\) reiškia, kad ryšio nėra;
• \(-1\) – visiška atvirkštinė priklausomybė (vieno kintamojo reikšmėms didėjant, kito – mažėja);
• \(+1\) – visiška tiesioginė priklausomybė (vieno kintamojo reikšmėms didėjant, kito irgi didėja).

Pearson koreliacija tinkama, kai ryšys tarp kintamųjų tiesinis. Be tiesinės, dažnai naudojami ir ranginės koreliacijos koeficientai: Spearman \(r_s\) arba Kendall \(\tau\) (tau). Jie tinkami, kai ryšys tarp kintamųjų netiesinis, bet monotoninis (nedidėjantis arba nemažėjantis).

Plačiau koreliacinė analizė nagrinėjama skyriuje „20 Koreliacinė analizė: ryšys tarp kintamųjų“.

4.6.2 Porinės dažnių lentelės

Jei turime du nominaliuosius kintamuosius (t.y., kintamųjų porą), jų analizė pradedama sudarant porinę dažnių lentelę ¹ (angl. cross-tabulation arba contingency table). Pavyzdys, kuriame pateikti tik absoliutieji dažniai:

Sudėtingesnis porinės dažnių lentelės pavyzdys, kurioje yra eilučių procentinė dalis, stulpelių ir eilučių sumos, praleistų reikšmių (<NA>) skaičius.

Dar vienas dažnių lentelės pavyzdys, kuriame pateikti absoliutieji dažniai (freq), bendroji (perc), eilučių (p.row) ir stulpelių (p.col) procentinės dalys.

                                           
         gender      F      M     NA    Sum
smoker                                     
                                           
Yes      freq      147    143      8    298
         perc    14.7%  14.3%   0.8%  29.8%
         p.row   49.3%  48.0%   2.7%      .
         p.col   30.1%  29.2%  36.4%      .
                                           
No       freq      342    346     14    702
         perc    34.2%  34.6%   1.4%  70.2%
         p.row   48.7%  49.3%   2.0%      .
         p.col   69.9%  70.8%  63.6%      .
                                           
Sum      freq      489    489     22  1'000
         perc    48.9%  48.9%   2.2% 100.0%
         p.row       .      .      .      .
         p.col       .      .      .      .
                                           

4.6.3 Ryšys tarp nominaliųjų kintamųjų

Ryšys tarp nominaliųjų kintamųjų gali būti matuojamas įvairiais koeficientais. Čia aptarsime kelis:

• Cramer V
• Goodman-Kruskal τ
• Goodman-Kruskal λ

Cramer V

Vienas iš galimų būdų įvertinti ryšio tarp dviejų kategorinių kintamųjų stiprumą – skaičiuoti Kramerio V koeficientą (angl. Cramer’s V). Šis koeficientas kinta:

• nuo 0, kai ryšio nėra;
• iki 1, kai tarp kintamųjų visiška priklausomybė.

Sakykime, jau turime porinę dažnių lentelę. Iš jos apsiskaičiuojame \(\chi^2\) (chi kvadratu) statistiką:

\[\begin{equation} \chi^2 = \sum^c_{i=1} \sum^r_{j=1} \frac { \left(n_{ij} - \frac{n_{i.} ~ n_{.j}} {n}\right)^2} { \frac {n_{i.} ~ n_{.j}} n } \tag{4.18} \end{equation}\]

Čia \(i\) ir \(j\) – eilutės ir stulpelio numeriai, \(r\) ir \(c\) – eilučių ir stulpelių skaičius, \(n_{i.}\) – \(i\)-tosios eilutės bei \(n_{.j}\) – \(j\)-ojo stulpelio dažnių suma, \(n_{ij}\) – \(i\) eilutėje ir \(j\) stulpelyje esančio langelio absoliutusis dažnis (empirinis dažnis), \(n\) – imties dydis. Pažymėjimas \(\frac{n_{i.} ~ n_{.j}}{n}\) yra tikėtinas (teorinis) dažnis.

Tada \(V\) gaunamas:

\[\begin{equation} V={\sqrt{ \frac{ \chi^2 / n }{ \min(c-1, ~ r-1) }}} \tag{4.19} \end{equation}\]

Koeficientas yra simetriškas: jei sukeisime kintamuosius vietomis, gausime tokią pačią koeficiento V reikšmę. Visgi koeficiento trūkumas yra neaiški tikimybinė skaitinės reikšmės interpretacija.

Goodman-Kruskal τ ir λ

Gudmano-Kraskalo (Goodman-Kruskal) koeficientai τ (tau) ir λ (lambda) taip pat naudojami ryšio tarp nominaliųjų kintamųjų stiprumui vertinti. Šie koeficientai iš principo parodo tą patį – kiek sumažėja klaida atspėti vieno (atsako) kintamojo reikšmę, pagal kito (aiškinamojo) kintamojo reikšmę lyginant su visiškai atsitiktiniu spėjimu. Tik koeficientų apskaičiavimo procedūros skiriasi (Minitab 21 Support 2021). Dėl skaičiavimų specifikos (atsiradusio nulio dalyboje), kai kuriais atvejais λ koeficiento reikšmė tampa lygi nuliui, nors neturėtų. Dėl šios priežasties labiau rekomenduočiau naudoti τ koeficientą.

Abu koeficientai kinta nuo 0 iki 1:

• 0 rodo, kad ryšio nėra (klaidos sumažėjimas 0%),
• 1 – kad visiška priklausomybė (klaidos sumažėjimas 100%).

Koeficientai τ ir λ yra asimetriški: jei dažnių lentelės eilučių ir stulpelių skaičius skiriasi, tai sukeitę kintamuosius vietomis gausime kitokią skaitinę reikšmę.

Yra ir daugiau metodų ryšio tarp kategorinių kintamųjų stiprumui vertinti. Vienas iš jų – taip pat vertas dėmesio ir kai kuriose jo interpretacija netgi lengviau suvokiama nei anksčiau minėtųjų – yra galimybių (šansų) santykis, naudojamas 2×2 dažnių lentelėms. Šiame skyriuje jis nėra aptartas.